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Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen. Das Integral lässt sich aber auch auf lokalkonvexe Räume verallgemeinern.

• Definition

• Messbarkeitssatz von Pettis

• Bochner-Integrierbarkeit

• Eigenschaften

• Linearität

• Verkettung mit einem stetigen Operator

• Radon–Nikodym-Eigenschaft

• Bochner-Lebesgue-Räume

• Erweiterung auf lokalkonvexe Räume

• Ansatz von Beckmann und Deitmar

• Siehe auch

• Literatur

• Weblinks

• Einzelnachweise

Es seien ( Ω Ω , A , μ μ ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} ein σ σ {\displaystyle \sigma } -endlicher, vollständiger Maßraum und ( B , ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ ) {\displaystyle (B,\|\cdot \|)} ein Banachraum.

Das Bochner-Integral ∫ ∫ Ω Ω f d μ μ {\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu } einer Funktion f : : Ω Ω → → B {\displaystyle f\colon \Omega \to B} ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

s ( x ) = ∑ ∑ i = 1 m α α i χ χ X i ( x ) {\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\chi _{X_{i}}(x)}

mit Faktoren α α i ∈ ∈ B {\displaystyle \alpha _{i}\in B} und messbaren Mengen X i ∈ ∈ A {\displaystyle X_{i}\in {\mathcal {A}}} , wobei χ χ X i {\displaystyle \chi _{X_{i}}} deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

∫ ∫ Ω Ω s d μ μ := ∑ ∑ i = 1 m α α i μ μ ( X i ) {\displaystyle \int _{\Omega }s\,{\rm {d}}\mu :=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\mu (X_{i})} ,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von s {\displaystyle s} ist.cite-ref-1[1]

Eine Funktion f : : Ω Ω → → B {\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow B} heißt μ μ {\displaystyle \mu } -messbar oder Bochner-messbar, wenn es eine Folge ( s n ) n ∈ ∈ N {\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }} einfacher Funktionen gibt, so dass lim n → → ∞ ∞ s n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)} für μ μ {\displaystyle \mu } -fast alle x ∈ ∈ Ω Ω {\displaystyle x\in \Omega } gilt.cite-ref-2[2]

Eine μ μ {\displaystyle \mu } -messbare Funktion f : : Ω Ω → → B {\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow B} heißt Bochner-integrierbarcite-ref-3[3], falls es eine Folge ( s n ) n ∈ ∈ N {\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }} einfacher Funktionen gibt, so dass

• lim n → → ∞ ∞ s n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)} für μ μ {\displaystyle \mu } -fast alle x ∈ ∈ Ω Ω {\displaystyle x\in \Omega } gilt und

• zu jedem ε ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ein n 0 = n 0 ( ε ε ) ∈ ∈ N {\displaystyle n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} } existiert mit

∫ ∫ Ω Ω ‖ ‖ s n − − s k ‖ ‖ d μ μ < ε ε {\displaystyle \int _{\Omega }\|s_{n}-s_{k}\|{\rm {d}}\mu <\varepsilon } für alle n , k ≥ ≥ n 0 {\displaystyle n,k\geq n_{0}} .

In diesem Fall ist

∫ ∫ Ω Ω f d μ μ := lim n → → ∞ ∞ ∫ ∫ Ω Ω s n d μ μ {\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu :=\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }s_{n}\,{\rm {d}}\mu }

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge ( s n ) n ∈ ∈ N {\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }} mit obigen Eigenschaften.cite-ref-4[4] Falls M ∈ ∈ A {\displaystyle M\in {\mathcal {A}}} und f : : M → → B {\displaystyle f\colon M\rightarrow B} , so schreibt man

∫ ∫ M f d μ μ := ∫ ∫ Ω Ω f ~ ~ d μ μ {\displaystyle \int _{M}f{\rm {d}}\mu :=\int _{\Omega }{\tilde {f}}{\rm {d}}\mu } mit f ~ ~ ( x ) := { f ( x ) , f a l l s x ∈ ∈ M , 0 , f a l l s x ∈ ∈ Ω Ω ∖ ∖ M , {\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\left\{{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm {falls}}\ x\in M\ ,\\0\ ,&{\rm {falls}}\ x\in \Omega \setminus M,\\\end{array}}\right.}

sofern f ~ ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} Bochner-integrierbar ist.cite-ref-5[5]

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die μ μ {\displaystyle \mu } -Messbarkeit:

Die Funktion f : : Ω Ω → → B {\displaystyle f\colon \Omega \to B} ist genau dann μ μ {\displaystyle \mu } -messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• Für jedes stetige lineare Funktional ϕ ϕ ∈ ∈ B ′ {\displaystyle \phi \in B'} ist ϕ ϕ ∘ ∘ f : : Ω Ω → → K {\displaystyle \phi \circ f\colon \Omega \to {\mathbb {K} }} μ μ {\displaystyle \mu } -messbar.

• Es gibt eine μ μ {\displaystyle \mu } -Nullmenge N ⊂ ⊂ Ω Ω {\displaystyle N\subset \Omega } , so dass f ( Ω Ω ∖ ∖ N ) ⊂ ⊂ B {\displaystyle f(\Omega \setminus N)\subset B} separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist B {\displaystyle B} ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die μ μ {\displaystyle \mu } -Messbarkeit B {\displaystyle B} -wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die μ μ {\displaystyle \mu } -Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine μ μ {\displaystyle \mu } -messbare Funktion f : : Ω Ω → → B {\displaystyle f\colon \Omega \to B} ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn ‖ ‖ f ‖ ‖ : Ω Ω → → R {\displaystyle \|f\|:\Omega \to \mathbb {R} } Lebesgue-integrierbar ist.

In diesem Abschnitt ist B {\displaystyle B} ein Banachraum und f , g : : Ω Ω → → B {\displaystyle f,g\colon \Omega \rightarrow B} sind integrierbare Funktionen.

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen f , g : : Ω Ω → → B {\displaystyle f,g\colon \Omega \rightarrow B} und beliebige α α , β β ∈ ∈ K {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} } ist auch α α f + β β g {\displaystyle \alpha f+\beta g} integrierbar, und es gilt:

∫ ∫ Ω Ω ( α α f + β β g ) d μ μ = α α ∫ ∫ Ω Ω f d μ μ + β β ∫ ∫ Ω Ω g d μ μ {\displaystyle \int _{\Omega }(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{\Omega }g\,\mathrm {d} \mu } .

Es sei D {\displaystyle D} ein Banachraum und T ∈ ∈ L ( B , D ) {\displaystyle T\in L(B,D)} ein stetiger linearer Operator. Dann ist T f : : Ω Ω → → D {\displaystyle Tf\colon \Omega \to D} eine integrierbare Funktion und es giltcite-ref-6[6]

T ( ∫ ∫ Ω Ω f ( x ) d μ μ ( x ) ) = ∫ ∫ Ω Ω T ( f ( x ) ) d μ μ ( x ) {\displaystyle T\left(\int _{\Omega }f(x)\mathrm {d} \mu (x)\right)=\int _{\Omega }T(f(x))\mathrm {d} \mu (x)} .

→

Hauptartikel

:

Radon-Nikodym-Eigenschaft

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.cite-ref-7[7]

Ist ( Ω Ω , A , μ μ ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} ein σ σ {\displaystyle \sigma } -endlicher, vollständiger Maßraum und ( B , ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ ) {\displaystyle (B,\|\cdot \|)} ein Banachraum, so nennt man für 1 ≤ ≤ p ≤ ≤ ∞ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } den Raum L p ( Ω Ω , A , μ μ , B ) {\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)} der Bochner-integrierbaren Funktionen Ω Ω → → B {\displaystyle \Omega \rightarrow B} einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich μ μ {\displaystyle \mu } -fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch Äquivalenzklassen. Man erhält mit der Norm

‖ ‖ f ‖ ‖ p := ( ∫ ∫ Ω Ω ‖ ‖ f ( ω ω ) ‖ ‖ p d μ μ ( ω ω ) ) 1 / p , 1 ≤ ≤ p < ∞ ∞ {\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }\|f(\omega )\|^{p}\mathrm {d} \mu (\omega )\right)^{1/p},\quad 1\leq p<\infty }

‖ ‖ f ‖ ‖ ∞ ∞ := e s s sup ‖ ‖ f ( ω ω ) ‖ ‖ , p = ∞ ∞ {\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\mathrm {ess} \sup \|f(\omega )\|,\quad \quad p=\infty }

einen Banachraum. Dieser lässt sich für p = 1 {\displaystyle p=1} wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

L 1 ( Ω Ω , A , μ μ ) × × B → → L 1 ( Ω Ω , A , μ μ , B ) , ( f , α α ) ↦ ↦ f ( ⋅ ⋅ ) α α {\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\times B\rightarrow L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B),\,(f,\alpha )\mapsto f(\cdot )\alpha }

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

L 1 ( Ω Ω , A , μ μ ) ⊗ ⊗ ^ ^ π π B ≅ ≅ L 1 ( Ω Ω , A , μ μ , B ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\mathbin {{\hat {\otimes }}_{\pi }} B\cong L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)}

definiert, wobei ⊗ ⊗ ^ ^ π π {\displaystyle {\hat {\otimes }}_{\pi }} das projektive Tensorprodukt bezeichne.cite-ref-8[8]

Es ist möglich das Bochner-Integral auf lokalkonvexe Räume zu erweitern, dies wurde 1975 von Wjatscheslaw Rybakowcite-ref-9[9], 1981 durch Chris Blondiacite-ref-10[10] und 2015 von Ralf Beckmann und Anton Deitmar gemachtcite-ref-11[11], wobei Beckmann und Deitmar den ursprünglichen Ansatz von Bochner für vektorwertige Integrale auf Netze erweiterten.

Die nachfolgende Definition stammt von Blondia:cite-ref-12[12]

Es seien ( Ω Ω , A , μ μ ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} ein σ σ {\displaystyle \sigma } -endlicher, vollständiger Maßraum. Weiter sei ( X , P ) {\displaystyle (X,{\mathcal {P}})} ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum, der vollständig ist und dessen Topologie durch eine Familie von Seminormen P {\displaystyle {\mathcal {P}}} erzeugt wird. Eine Funktion f : : Ω Ω → → X {\displaystyle f\colon \Omega \to X} heißt stark-integrierbar oder Bochner-integrierbar, wenn eine Folge ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} existiert, so dass

• f n ( ω ω ) → → f ( ω ω ) {\displaystyle f_{n}(\omega )\to f(\omega )} für μ μ {\displaystyle \mu } -fast alle ω ω ∈ ∈ Ω Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } gilt.

• p ( f ( ω ω ) − − f n ( ω ω ) ) ∈ ∈ L 1 ( Ω Ω ; R ) {\displaystyle p(f(\omega )-f_{n}(\omega ))\in L^{1}(\Omega ;\mathbb {R} )} für jedes n ∈ ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } und alle Seminormen p ∈ ∈ P {\displaystyle p\in {\mathcal {P}}} , das heißt

lim n → → ∞ ∞ ∫ ∫ Ω Ω p ( f ( ω ω ) − − f n ( ω ω ) ) d μ μ = 0. {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int _{\Omega }p(f(\omega )-f_{n}(\omega ))d\mu =0.}

• ∫ ∫ A f n ( ω ω ) d μ μ {\displaystyle \int _{A}f_{n}(\omega )d\mu } konvergiert für jede messbare Teilmenge A {\displaystyle A} von Ω Ω {\displaystyle \Omega } .

Beckmann und Deitmar verwenden den Begriff der Bochner-Approximierbarkeit für f : : Ω Ω → → X {\displaystyle f\colon \Omega \to X} als Voraussetzung für die Bochner-Integrierbarkeit und geben eine Charakterisierung dieses Begriffs. Eine Funktion heißt Bochner-approximierbar falls ein Netz ( s j ) j ∈ ∈ J {\displaystyle (s_{j})_{j\in J}} von einfachen Funktionen existiert, so dass für jede stetige Seminorm p {\displaystyle p} auf X {\displaystyle X}

∫ ∫ Ω Ω p ( f − − s j ) d μ μ → → 0 {\displaystyle \int _{\Omega }p(f-s_{j})d\mu \to 0}

gilt. Eine alternative Bedingung ohne den Begriff des Netzes lautet wie folgt: f {\displaystyle f} ist Bochner-approximierbar, falls für jede stetige Seminorm p {\displaystyle p} eine einfache Funktion s p {\displaystyle s_{p}} mit der Eigenschaft

∫ ∫ Ω Ω p ( f − − s p ) d μ μ < 1 {\displaystyle \int _{\Omega }p(f-s_{p})d\mu <1}

existiert.

Sie unterscheiden zwischen drei Fällen an Anforderungen an den lokalkonvexen Raum X {\displaystyle X} cite-ref-13[13]

• X {\displaystyle X} ist vollständig

• X {\displaystyle X} ist quasivollständig und die Funktion f {\displaystyle f} ist beschränkt,

• X {\displaystyle X} ist quasivollständig und das Maß ist endlich μ μ ( Ω Ω ) < ∞ ∞ {\displaystyle \mu (\Omega )<\infty } .

• Birkhoff-Integral

• Pettis-Integral

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.

• Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

• Salomon Bochner: Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind. (PDF; 799 kB). In: Fundamenta Mathematicae. Bd. 20, 1933, S. 262–276.

• V. I. Sobolev: Bochner integral. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).

• Integrale vektorwertiger Funktionen. In: Matroids Matheplanet.

cite-note-11. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).

cite-note-22. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 65.

cite-note-33. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 87.

cite-note-44. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Korollar X.2.7.

cite-note-55. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 94.

cite-note-66. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 92.

cite-note-77. ↑ Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.

cite-note-88. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.19

cite-note-99. ↑ Vyacheslav I. Rybakov: A generalization of the Bochner integral to locally convex spaces. In: Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR. Band 18, 1975, S. 933–938, doi:10.1007/BF01153047.

cite-note-1010. ↑ Chris Blondia: Integration in locally convex spaces. In: Simon Stevin, (A Quarterly Journal of Pure and Applied Math.). Band 55, Nr. 3, 1981, S. 81–102.

cite-note-1111. ↑ Ralf Beckmann und Anton Deitmar: Two applications of nets. In: Ann. Funct. Anal. Band 6, Nr. 3, 2015, S. 176 - 190, doi:10.15352/afa/06-3-15.

cite-note-1212. ↑ Valeria Marraffa: A Birkhoff Type Integral and the Bourgain Property in a Locally Convex Space. In: Michigan State University Press (Hrsg.): Real Analysis Exchange. Band 32, Nr. 2, 2006, S. 410 (projecteuclid.org).

cite-note-1313. ↑ Ralf Beckmann und Anton Deitmar: Two applications of nets. In: Ann. Funct. Anal. Band 6, Nr. 3, 2015, S. 183, doi:10.15352/afa/06-3-15 (Theorem 1.15 und Theorem 1.16).